Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05

Kepler to Newton

케플러의 천체 운동 법칙이 뉴턴의 만유인력 및 운동 법칙으로부터 수학적으로 유도가 될 수 있다고는 배웠는데, 자세한 설명을 들어본 적이 없었다. \(F = ma\) 를 이용해서 지표면 위에서의 물체가 포물선 운동을 한다는 것에 대해서 배웠다. 지표면에서의 운동은 기준 좌표계를 직교좌표계를 쓰기 때문에 수식이 비교적 간단하기 때문인 것 같다. 천체 운동에 적용하기 위해서는 극좌표계를 써야 하고, 극좌표계에서의 미분 및 미분 방정식을 풀어야 하는데, 한번 해보자.

케플러 법칙

먼저 케플러(1571 ~ 1630) 법칙에 대해 간단히 알아보자. 티코 브라헤(1546 ~ 1601)가 평생 동안 관측한 행성 자료를 분석하여 행성운동 3법칙을 발표하였는데, 발견했다고 하는 표현이 맞을 것 같다.

뉴턴의 법칙

뉴턴(1642 ~ 1727)의 운동 제 2법칙인 가속도의 법칙은 단순한 아이디어를 구체화 및 수식화한 것이다.

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힘을 물체를 힘의 방향으로 가속시킨다. 그 가속 정도는 물체의 질량(무게)에 따라 다르다.

벡터 기호를 도입하여 나타내면 아래와 같다.

\begin{align}\vec{F} = m \vec{a}\end{align}

그리고 두 물체간에는 만유인력이 존재하는데, 그 형태는 다음과 같다.

\begin{align}F = \frac{G M m}{r^2}\end{align}

\(G\) 는 만유인력 상수, \(M\) 과 \(m\) 은 두 물체의 질량, \(r\) 은 두 물체 중심간의 거리이다. 상기 수식은 힘의 방향이 빠져있는데, 너무 당연하기 때문에 힘의 크기만 나타낸 것이다.

수식 유도

힘의 방향까지 생각해 보기 위해 태양의 중심을 원점으로 하는 좌표계를 생각해 보자. 행성은 특정 좌표 점에 있을 것이다. 만유인력은 행성 좌표점에서 원점방향으로 작용하는 힘이다. 즉, 만유인력은 원점 방향으로만 작용하며, 그 수직인 운동방향으로는 힘이 작용하지 않는다.

직교 좌표계와 극좌표계의 단위 벡터(Unit Vector)를 각각 \(\hat{x}, \hat{y}, \hat{r}, \hat{\theta}\) 라고 하자. 특정 위치(ex. 행성의 위치) 벡터 \(\vec{p}\) 를 우선 직교좌표계로 나타내 보자.

\begin{align}\vec{p} = x\hat{x} + y\hat{y}\end{align}

여기서 x, y는 직교좌표계에서의 좌표값이다. 극좌표계로 나타내면 좀더 간단하다. 아래 수식에서 r은 피타고라스 정리에 의해 x, y의 조합으로 쉽게 나타냈 수 있다.

\begin{align}\vec{p} = r\hat{r} = \sqrt{x^2 + y^2}\hat{r}\end{align}

추가로 극좌표의 Unit Vector(\(\hat{r}, \hat{\theta}\))들을 직교좌표계로 나타낼 수 있어야 한다. 행성의 위치가 변해도 변하지 않는 벡터가 직교좌표계의 단위벡터이기 때문이다. (선형 변환의 Rotation을 참고)

\begin{align}\hat{r} = \cos{\theta}\hat{x} + \sin{\theta}\hat{y}\end{align}

\begin{align}\hat{\theta} = -\sin{\theta}\hat{x} + \cos{\theta}\hat{y}\end{align}

앞으로 미분을 실시하여 가속도를 구할 텐데, 극좌표계의 Unit Vector의 시간에 따른 미분을 미리 구해 놓자.

\begin{align}\begin{split}\dot{\hat{r}} &= \frac{d}{dt}(\cos{\theta}\hat{x} + \sin{\theta}\hat{y}) \\ &= \frac{d\theta}{dt}(-\sin{\theta}\hat{x} + \cos{\theta}\hat{y}) \\&= \dot{\theta}\hat{\theta}\end{split}\end{align}

\begin{align}\begin{split}\dot{\hat{\theta}} &= \frac{d}{dt}(-\sin{\theta}\hat{x} + \cos{\theta}\hat{y}) \\ &= \frac{d\theta}{dt}(-\cos{\theta}\hat{x} - \sin{\theta}\hat{y}) \\&= -\dot{\theta}\hat{r}\end{split}\end{align}

이제 속도를 구해보자. 우선 특정 위치 벡터(행성)의 속도는 다음과 같이 계산이 가능하다.

\begin{align}\begin{split}\vec{v} &= \frac{d\vec{p}}{dt}= \frac{d}{dt}(r\hat{r}) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\hat{r}} \\ &= \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta}\end{split}\end{align}

한번 더 미분하여 가속도를 구해보자. 가속도도 복잡하지만 유사한 방식으로 구할 수 있다.

\begin{align}\begin{split}\vec{a} &= \frac{d\vec{v}}{dt}= \frac{d}{dt}(\dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta}) \\ &= \ddot{r}\hat{r} + \dot{r}\dot{\hat{r}} + \dot{r}\dot{\theta}\hat{\theta} + r\ddot{\theta}\hat{\theta} + r\dot{\theta}\dot{\hat{\theta}} \\ &= \ddot{r}\hat{r} + \dot{r}\dot{\theta}\hat{\theta} + \dot{r}\dot{\theta}\hat{\theta} + r\ddot{\theta}\hat{\theta} + r\dot{\theta}(-\dot{\theta}\hat{r}) \\ &= (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{\theta}\end{split}\end{align}

이제 가속도를 구했으니 힘을 구하고 만유인력과 비교하면 다음 최종 수식을 얻을 수 있다. 위에서 언급했듯이 태양의 질량을 M, 행성의 질량을 m이라고 하자. 태양이 원점에 있고, 행성과 태양까지의 거리는 r이다. Radius 방향(\(\hat{r}\))의 힘을 생각해 보면, 만유인력이 \(-\hat{r}\) 으로 작용한다.

\begin{align}m\left((\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{\theta}\right) = -\frac{G M m}{r^2}\hat{r}\end{align}

미분 방정식 계산

앞에서 구한 수식에서 극좌표의 Unit Vector가 서로 수직이므로, 다음 두 미분 방정식을 구할 수 있다.

\begin{align}\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = -\frac{G M }{r^2}\end{align}

\begin{align}2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta} = 0\end{align}

미분 방정식을 푸는 것은 쉽지 않다. 대학교에서 배우는 공학수학의 대부분이 미분 방정식 푸는 것이다. 미분 방정식이란 특정 함수를 그 변수로 미분한 값들 간의 관계식으로, 특정 함수를 알면 그 방정식을 쉽게 유도할 수 있다. 하지만 문제는 그 특정 함수를 구해야 하는 것이다.

여기서는 최종 결과만 이야기 하고자 한다.

먼저 두번째 수식을 보자. 두 개의 항이 있는데, 잘하면 하나로 묶을 수 있을 것 같다.

\begin{align}2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta} = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right) = 0\end{align}

r은 0이 될 수 없으므로, 시간에 따라 미분한 값이 0이어야 한다. 따라서 \(r^2\dot{\theta}\) 가 시간에 따라 변하지 않는 상수이다. 이것이 바로 케플러 제2법칙이다.

\(r^2\dot{\theta} = \mu\) 라고 하고 첫번째 미분 방정식에 넣어 정리하면, r만에 대한 미분 방정식으로 된다.

\begin{align}\begin{split}\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 &= \ddot{r} - \frac{\mu^2}{r^3} \\&= -\frac{G M }{r^2}\end{split}\end{align}

이 미방을 풀어서 r을 구하면 다음과 같다. 케플러 제 1법칙이 나온다. r이 일정한 것이 아니고 각도에 따라 달라지는 타원의 한 초점으로 부터의 거리인 것이다.

\begin{align}r = \frac{l}{1+\epsilon\cos(\theta+\theta_0)}\end{align}

여기서 \(l = \frac{\mu^2}{GM}\), \(\epsilon = lA\), \(A\) 와 \(\theta_0\) 는 임의의 상수.

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